S-Z 变换表

核心结论

离散系统分析的第一步是「把差分方程变成 z 域代数式」，靠的就是这张四列对照表：时域 $f(t)$ ↔ s 域 $F(s)$ ↔ 离散序列 $f(kT)$ ↔ z 域 $F(z)$。记住前六行（冲激、阶跃、斜坡、抛物线、几何序列、指数）+ 正弦余弦 + 移位/时延 + 初终值定理，就够覆盖绝大多数习题。

一、变换表

前提：$t<0$ 时 $f(t)=0$；$k<0$ 时 $f(kT)=f(k)=0$；$k=0,1,2,\dots$（T 为采样周期）。

#	$f(t)$	$F(s)$	$f(kT)$ / $f(k)$	$F(z)$	名称
1	$\delta(t)$	$1$	$\delta(k)$	$1$	单位冲激
2	$\delta(t-t_d)$	$e^{-t_d s}$	$\delta(k-n)$	$z^{-n}$	时延单位冲激
3	$u(t)=1$	$\dfrac{1}{s}$	$u(k)=1$	$\dfrac{z}{z-1}$	单位阶跃
4	$t$	$\dfrac{1}{s^2}$	$kT$	$\dfrac{zT}{(z-1)^2}$	斜坡
5	$t^2$	$\dfrac{2}{s^3}$	$(kT)^2$	$\dfrac{z(z+1)T^2}{(z-1)^3}$	抛物线
6	—	—	$a^k$	$\dfrac{z}{z-a}$	几何序列
7	$e^{-at}$	$\dfrac{1}{s+a}$	$e^{-akT}$	$\dfrac{z}{z-e^{-aT}}$	自然指数
8	$1-e^{-at}$	$\dfrac{1}{s(s+a)}$	$1-e^{-akT}$	$\dfrac{(1-e^{-aT})z}{(z-1)(z-e^{-aT})}$	阶跃·指数
9	$te^{-at}$	$\dfrac{1}{(s+a)^2}$	$kTe^{-akT}$	$\dfrac{Tze^{-aT}}{(z-e^{-aT})^2}$	—
10	—	—	$ka^{k-1}$	$\dfrac{z}{(z-a)^2}$	—
11	—	—	$a^k-b^k$	$\dfrac{(a-b)z}{(z-a)(z-b)}$	—
12	$\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$	$\sin\omega kT$	$\dfrac{z\sin\omega T}{z^2-2z\cos\omega T+1}$	sine
13	$\cos\omega t$	$\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$	$\cos\omega kT$	$\dfrac{z(z-\cos\omega T)}{z^2-2z\cos\omega T+1}$	cosine
14	$e^{-at}\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{(s+a)^2+\omega^2}$	$e^{-akT}\sin\omega kT$	$\dfrac{ze^{-aT}\sin\omega T}{z^2-2ze^{-aT}\cos\omega T+e^{-2aT}}$	自然欠阻尼
15	$\dfrac{df}{dt}$	$sF(s)-f(0)$	—	—	一阶导
16	$\dfrac{d^2f}{dt^2}$	$s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$	—	—	二阶导
17	—	—	$f(k-n)$	$z^{-n}F(z)$	左移 n 位
18	$f(t-t_d)$	$e^{-st_d}F(s)$	—	—	时延
19	—	—	$f(k+1)$	$zF(z)-zf(0)$	右移 1 位
20	—	—	$f(k+2)$	$z^2F(z)-z^2f(0)-zf(1)$	右移 2 位
21	$f(0)$	$\lim_{s\to\infty}sF(s)$	$f(0)$	$\lim_{z\to\infty}F(z)$	初值定理
22	$f(\infty)$	$\lim_{s\to 0}sF(s)$	$f(\infty)$	$\lim_{z\to 1}(z-1)F(z)$	终值定理

原文表格中第 14 行 $F(s)$（欠阻尼正弦的分子应为 $\omega$ 而非 $s$）、第 18 行时延指数符号（应为 $e^{-st_d}$）、第 19/20 行右移定理（分子应带 $z$ 的幂次与 $f(0)$ 项）存在笔误，上表已按标准形式更正。

二、四条记忆线索

1. 冲激 ↔ 1，阶跃 ↔ $\dfrac{z}{z-1}$：这两对是其余行的地基，其它都从它们推。
2. 时域乘 $e^{-at}$ ↔ z 域把 $z$ 换成 $ze^{aT}$（阻尼位移定理）：第 7 行与第 3 行、第 9 行与第 4 行、第 14 行与第 12 行的关系都由此而来。
3. 时域乘 $t$/$t^2$ ↔ z 域对 $z$ 求导（第 4、5、9、10 行）。
4. 移位 = 乘 $z^{\pm n}$，右移（超前）要扣初始值，左移（延迟）不用。

三、Z 变换的四种求法

理论上都可用，实际按题面形式挑：

方法	适用	要点
差分方程法	给定差分方程	逐项取 z 变换，用移位定理消掉 $k$
幂级数法	能展开成 $\sum f(k)z^{-k}$	直接长除或展开级数，按系数读 $f(k)$
部分分式法	$F(z)$ 是有理分式	拆成 $\dfrac{z}{z-a}$ 这类标准项再查表
残差法	需要闭式解	用留数 $\sum \text{Res}$ 求逆变换

四、一个完整例子（差分方程法）

设

$$m(k)=\begin{cases}1,& k \text{ 为偶数}\\ 0,& k \text{ 为奇数}\end{cases},\quad y(k)=m(k)-m(k-1)-y(k-1)$$

求 $k=0,1,\dots,4$ 时的 $y(k)$。

① 取 z 变换（注意零初始条件）：

$$Y(z)=M(z)-z^{-1}M(z)-z^{-1}Y(z) \;\Rightarrow\; \frac{Y(z)}{M(z)}=\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}=\frac{z-1}{z+1}$$

② 求输入序列的 z 变换：偶数位为 1、奇数位为 0，即 $1,0,1,0,\dots$

$$M(z)=1+z^{-2}+z^{-4}+\cdots=\frac{1}{1-z^{-2}}=\frac{z^2}{z^2-1}$$

③ 相乘得输出：

$$Y(z)=\frac{z-1}{z+1}\cdot\frac{z^2}{z^2-1} =\frac{(z-1)z^2}{(z-1)(z+1)^2}=\frac{z^2}{(z+1)^2}$$

④ 逆变换：查表（第 10 行，$a=-1$）或部分分式展开可得

$$y(k)=Z^{-1}\!\left[\frac{z^2}{(z+1)^2}\right]$$

这条链路的每一步都是「定理 + 查表」，没有别的技巧 —— 这也是这张表值得背下来的原因。

来源

• 知识源：自动控制原理与 S-Z 变换（源笔记摘要）
• 原文：自动控制原理相关（S-Z 变换表）
• 相关概念：机器数与 IEEE-754（数值误差与离散化同源）